Akkor és csakis akkor tekinthetünk valamit modellnek, ha ismerjük a modellezettel való összefüggését: azokat a jellemzőket, amelyek szerint a modell és modellezett hasonlóak egymáshoz.
A hasonlóság a hétköznapi szóhasználatban élőlények, tárgyak, fogalmak valamilyen kapcsolatára (részben vagy egészében megegyező tulajdonságokra) utal; a tudományos megfogalmazás valamely tárgyrendszer és annak képe közötti összefüggésként értelmezi. Csak emlékeztetünk arra, hogy két, A és B halmaz közötti ρ reláció (morfizmus) lehet:
Mi hát a modell? Ismételten hangsúlyozzuk, hogy a modell nem létezik. Egy modell mindig csak az általa modellezettel együtt értelmezhető, és a kettő közötti hasonlóság feltételeit kell kielégítenie.
Egy objektum önmagához (ugyanabban az időpontban) nyilvánvalóan minden szempontból hasonló. Az “automorfizmus” önmagában triviális ténye azt jelenti, hogy a ρ hasonlósági reláció reflexív:
a ρ a.
Két objektum viszonyában azonban azt is ki kell kötnünk, hogy a modell-modellezett funkció felcserélhető legyen, vagyis bármelyik objektum tulajdonságaiból a másikra következtetéseket tudjunk levonni. Ez a követelmény matematikailag azt jelenti, hogy a ρ hasonlósági reláció szimmetrikus
a ρ b -> b ρ a ,
A technikában sohasem (a természet- és társadalomtudományokban is csak kivételes esetekben) korlátozódik a modell egyetlen modellezettel való kapcsolatra. Általában a modellből a modellezettek egész csoportjára kell következtetnünk, vagyis úgy tekintjük a modellt, mint az egymáshoz hasonló elemek halmazának egyik reprezentáns elemét. Legyen pl. az a, b, c elemekből álló halmazunk. Ha ezek hasonlóak, akkor bármely két elem között szimmetria relációnak kell fennállnia, hiszen bármelyik elem lehet reprezentáns (modell):
a ρ b -> b ρ a,
b ρ c -> c ρ b ,
c ρ a -> a ρ c.
Ebből viszont az is következik, hogy az így értelmezett hasonlósági reláció tranzitív is:
a ρ b ÉS b ρ c -> a ρ c.
Könnyen belátható (később még példát is mutatunk rá), hogy a nem tranzitív relációk téves következtetések forrásai lehetnek. De téves következtetésekre juthatunk akkor is, ha a modell és a modellezett különbözőségét figyelmen kívül hagyjuk, ha a modellezett olyan tulajdonságaira is következtetni akarunk, amelyek szerint azok nem hasonlóak. Vonatkozik ez nemcsak az objektumok modellezésére, hanem mindennapi gondolkodásunkra is.
A csak reflexív és szimmetrikus (de nem tranzitív) relációkat tolerancia (vagy: kváziekvivalencia) relációnak nevezik. A tolerancia és az ekvivalencia megkülönböztetése csak kettőnél több elem közötti reláció esetén lehetséges. Ezért a modell értelmezésekor nem elegendő egy modell és egy modellezett kapcsolatát vizsgálni, vagyis a modellt mindig a modellezettek egész csoportjának képviselőjeként kell felfognunk.
A “modellezettek egész csoportjának” meghatározása a lehetséges elemek H halmazán belüli egyfajta osztályozást jelent, vagyis a modellhez - adott szempontok szerint - hasonló és különböző osztályok elkülönítését. A halmaz egy osztályozása viszont nem más, mint az egymással ekvivalencia-relációban lévő elemek részhalmazba sorolása. Minden osztályozás definiál egy ekvivalencia relációt és - megfordítva - minden ekvivalencia reláció definiál egy osztályozást. Így értelmezzük a “modellezettek egész csoportját” mint egymással (valamely i. szempont szerinti) ρi hasonlósági relációban lévő elemek Ri osztályát (részhalmazát). Ismételten hangsúlyozzuk: ez egyben a H\Ri részhalmaz elkülönítése is, vagyis az Ri részhalmaz komplementerének, a modellhez - az i. szempont szerint - nem hasonló elemek részhalmazának meghatározása is. Mindebből az is következik, hogy ugyanazon H halmazon egy másik (j. szempont szerinti) ρj hasonlósági reláció egy másik Rj osztályt definiál.
A kétféle szempont szerint definiált halmazok viszonya egymáshoz a következő lehet:
a) Rj részhalmaza Ri-nek:
ami azt jelenti, hogy a j. szempont szűkebb az i-ediknél (pl. Ri a paralelogrammák, Rj a négyzetek halmaza).
b) Ri részhalmaza Rj-nek:
ami azt jelenti, hogy a j. szempont tágabb az i-ediknél;
c) Rj és Ri metszete üres:
vagyis a szempontok kizárják egymást, a részhalmazok diszjunktak. Ha még
is igaz, akkor a szempontok egymás komplementerei.
Végül:
d)
de egyik sem valódi részhalmaza a másiknak.
A hasonlósági szempontok nem diszjunktak. Vannak tehát olyan elemek is, amelyek
mindkét szempont szerint hasonlóak egymáshoz. (Pl. Rj a
háromszögek, Ri a derékszöget tartalmazó síkidomok halmaza. A
derékszögű háromszögek alkotják a két halmaz metszetét.)
A hasonlóság szerepe
az emberi gondolkodásban
A hasonlóság fogalma az emberi gondolkodásban rendkívül fontos helyet foglal el. Szigorúan véve a világ minden jelensége (minden rendszere) különbözik egymástól, nem lehet két azonosat találni közöttük. De ugyanaz a rendszer sem azonos önmagával, ha két különböző időpontban vizsgáljuk. Ebből arra a következtetésre lehetne jutni, hogy a végtelen sok, egymástól különböző jelenség megismerése lehetetlen.
Valójában ez is lenne a helyzet, ha az ember csak arra törekedne, hogy egy-egy jelenséget teljességében írjon le. Az emberi gondolkodás alapja azonban az általánosítás, az absztrakció. Az ember a világ megfigyelése során igyekszik felismerni az egyes jelenségek közös tulajdonságait. Már az érzékelés sem minden, hanem csak az adott érzékelő szempontjából lényeges jellemzőket fogja fel. [“Az érzékelés maga is szelektív ... (enélkül) semmiképpen sem tudnánk rendet teremteni az érzetek ... összevisszaságában.” Wartofsky (1977). 43. oldal]
Még erősebb az absztrakció a fogalmak megalkotása során. A fogalomalkotás lényegében nem más, mint csoportosítás, a (valamilyen szempontból) lényeges közös tulajdonságok felismerése és a lényegtelen különbözőségek elhanyagolása. Más szavakkal: a fogalomalkotás nem más, mint halmazba rendezés. A fogalom (= a halmaz “neve”) egyben a halmaz elemeinek közös tulajdonságát is jelenti.
Halmazba rendezni kétféleképpen lehet:
Nem mindig szükséges (általában nem is lehetséges) a modellezés során a vizsgált halmaz elemeinek valamennyi tulajdonságát figyelembe venni. A súlyosabb tévedések elkerülése érdekében ezért mindig rögzíteni kell azt az “állapotteret”, amelyre a hasonlóságot értelmezzük.
A hasonlóságot és az analógiát gyakran szinonimának tekintik. Az eredeti görög αναλογοσ számok közötti viszonyt, összemérhetőséget, arányt jelent. Eukleidész V. könyve a viszonyok hasonlóságaként értelmezi: “Az arányosság” (αναλογία) “az arányok hasonlósága.” (Ezzel részletesebben itt nem foglalkozunk.)
Az analógiának az emberi gondolkodásban mindig is kitüntetett szerepe volt. A klasszikus fizika megalkotói számos példát mutattak erre. Csak vázlatosan sorolunk fel ezek közül néhányat:
A tudomány nemcsak felhasználja az analógiákat, hanem foglalkozik a jelenségek hasonlósági feltételének megfogalmazásával is.
A hasonlósági reláció
A modell és a modellezett közötti kapcsolat hasonlósági reláció. Az előbbiek szerint a modell és a modellezett mindig csak valamilyen meghatározott szempontból hasonló, más szempontok szerint viszont különböző. Így a modell mindig csak részleges lehet. Az ún. “teljes modell” (olyan, ami minden szempontból hasonló) csak egy van: maga a modellezett. A minden szempontból hasonlóság ugyanis azonosságot jelent. Ezért kell a hasonlósághoz mindig hozzátenni, hogy azt mely tulajdonságokra vonatkoztatjuk és ezzel - implicite - azt is megjelölni, hogy mely tulajdonságokban van különbözőség. Ellenkező esetben könnyen a káros analógia hibájába eshetünk.
Ennek nagyon leegyszerűsített, de szemléletes bemutatására tekintsük a 4 betűs (értelmes) magyar szavak halmazát. Értelmezzünk ezen a halmazon egy relációt, amely azokat a szavakat köti össze, melyek legfeljebb csak egy betűben különböznek egymástól. Ez a reláció reflexív és szimmetrikus. Tekinthető-e ez (az előbbiek során felsorolt követelményeknek eleget tevő) hasonlósági relációnak?
Például: a
Lehet-e hasonlóságnak tekinteni azt a relációt, amelynek páronkénti alkalmazásával eljutunk a teljes különbözőségig? A hasonlósági reláció esetében ilyen “lánc-torzulásnak” nem szabad előfordulnia. Ezért pontosabban kell fogalmaznunk: nem elegendő megjelölni, hogy “legfeljebb csak egy betűben különbözik”, hiszen így nem rögzítettük a betű helyét. Az egyes szavakat ugyanis az “jellemzi”, hogy melyik helyen milyen betű áll. (Ennek hiányában pl. az OTTO és a TOTO szavak azonosak lennének?!) A különböző helyek különböző “jellemzőket” jelentenek. A négybetűs szavaknak négy jellemzőjük van, úgy tekinthetők, mint négy tulajdonsággal rendelkező elemek. A tulajdonság: hányadik betű a szóban. A tulajdonság értéke: melyik betű (ezen a helyen!). A hasonlósági feltétel csak úgy fogalmazható meg, ha megmondjuk, hogy “mely hely(ek)en álló betű(k)ben” különbözhet két szó. Így az előbbi feltételt így kell megfogalmazni: hasonlónak nevezünk két szót, ha (például) csak az első betűjében különbözik. Ilyen értelmezésben a
*
A hasonlósági relációnak tehát ki kell elégítenie az ekvivalencia reláció követelményeit. Ellenkező esetben (pl. tolerancia reláció mellett) eljuthatunk odáig, hogy a modellezett modelljének a modellje már nem modellje a modellezettnek! Ez a káros analógia gyökere.
A hasonlósági szempontokat tehát egy adott feladat (modellezés) esetén előre rögzíteni kell. De hogy melyek ezek a szempontok, az mindig a feladat jellegétől, vagyis attól függ, hogy a modellnek miben kell hasonlónak lennie a modellezetthez.
A hasonlósági szempontok főbb típusai:
,
hiszen a metszetnek van legalább egy eleme (maga a modellezett rendszer), vagyis léteznek olyan geometriailag hasonló objektumok, amelyek egymáshoz funkcionálisan és/vagy szerkezetileg is hasonlók. Azt azonban fontos felismernünk, hogy
nem igaz, vagyis
nem szükséges, semmi esetre sem elegendő, sőt gyakran kizáró feltétele. |
Mit jelentene az, ha a geometriai
hasonlóság a funkcionális hasonlóság elégséges feltétele lenne?
Ebben az esetben minden geometriailag hasonló rendszer funkcionálisan is
hasonló lenne. Így elegendő lenne a geometriai hasonlóságról gondoskodni,
s ezzel minden egyéb jellemző hasonlósága automatikusan már biztosított
lenne. Szemléletesen: a geometriailag hasonló rendszerek halmaza a
funkcionálisan hasonló rendszerek részhalmaza, vagyis:
|
|
Mit jelentene az, ha a geometriai
hasonlóság a funkcionális hasonlóság szükséges feltétele lenne?
Ebben az esetben minden funkcionálisan hasonló rendszer geometriailag is
hasonló lenne. Így kizárt lenne annak lehetősége, hogy a geometriailag nem
hasonló rendszerek egymásnak funkcionális modelljei legyenek.
Szemléletesen: a funkcionálisan hasonló rendszerek halmaza csak a
geometriailag hasonló rendszerek részhalmaza lehet, vagyis:
|
Jelentős ellentmondásra jutnánk, ha a
geometriai hasonlóságot a folyamatok hasonlóságának feltételeként
kezelnénk.
Ismert, hogy az eukleidészi geometria “jellemző
axiómája” a párhuzamosoké. [Valójában ez az V. posztulátum, amely így szól:
“És ha egy egyenest úgy metsz egy egyenes, hogy az egyik oldalon keletkező
belső szögek (összegben) két derékszögnél kisebbek, akkor a két egyenes
végtelenül meghosszabbítva találkozzék azon az oldalon, amerre az (összegben)
két derékszögnél kisebb szögek vannak.” Eukleidész
(1983) 47. old.] Bizonyítható, hogy ez az “axióma” és az idomok
hasonlóságának tétele felcserélhető: ha a geometriai idomok hasonlóságát
posztuláljuk, abból a párhuzamosság tételei (!) levezethetők. Az is ismeretes viszont, hogy a nem eukleidészi
geometriákban a párhuzamosok posztulátuma nem érvényes. Eszerint ezekben a
geometriákban hasonló idomok nem léteznek (legalábbis az eukleidészi definíció
szerint). Viszont: éppen századunk fizikája bizonyította be, hogy a
világegyetemre nem az eukleidészi geometria törvényei érvényesek. [Leopold Infeld írja:
“Egy világ tömegek nélkül, elektronok és elektromágneses tér nélkül üres
világ, hamis elképzelés. De ha megjelennek a tömegek, a töltött részecskék és az
elektromágneses tér, akkor megjelenik a gravitációs tér is. Ha megjelenik a
gravitációs tér, akkor meggörbül a világunk. Geometriája a Riemann-féle
geometria és nem az eukleidészi."] Eszerint a világegyetemre vonatkozóan nem
beszélhetünk geometriai hasonlóságról! Ha pedig a geometriai hasonlóság a
folyamatok hasonlóságának szükséges feltétele lenne, akkor a világegyetemben
hasonló folyamatok nem létezhetnének!?
A geometriai és a funkcionális hasonlóság egymásnak ellentmondó feltételére - mint már említettük - Galilei is rámutatott. A “Discorsi …”-ban (15-19. old.) olvashatjuk a következő beszélgetést:
SAGREDO: Minthogy a mechanika minden
lényeges elve geometriai alapokon nyugszik, ahol viszont a különböző körök,
háromszögek, hengerek, kúpok és egyéb alakzatok tulajdonságai függetlenek a
méretüktől; nem vagyok képes megérteni, miért ne lenne éppoly ellenálló a káros
és romboló hatásokkal szemben egy olyan szerkezet, amelyet úgy készítettek el,
hogy egy kisebb szerkezet minden egyes részét arányosan
megnövelték?
SALVIATI: Ez az általánosan elterjedt nézet teljesen hamis … egy azonos anyagból és az arányok megtartásával készített nagyobb gépnek … tömege és az erőszakos behatásokkal szemben tanúsított ellenállása nem a méretek arányában nő… mennél nagyobb, viszonylag annál gyengébbnek bizonyul… Ön, Sagredo úr, sok más társával együtt, akik a mechanikát tanulmányozták, remélem megváltoztatja azt a véleményét, hogy az azonos anyagból, az arányok pontos megtartásával készített gépek és szerkezetek egyenlő mértékben, helyesebben nagyságukkal arányosan állnak ellen vagy engednek a külső hatásoknak és impetusoknak, ugyanis geometriai módszerekkel lehet bizonyítani, hogy a nagyobbak kevésbé ellenállók …
SAGREDO: Az Ön szavaiból, azt hiszem, arra kellene következtetni, hogy egyazon anyagból nem lehet két hasonló, de különböző méretű szerkezetet készíteni oly módon, hogy az ellenállásuk aránya megegyezzék a nagyságukéval; ha pedig így van, nem találhatunk két azonos fából készített rudat sem, amelyek ereje és ellenálló képessége egyforma, de nagyságuk különböző.
SALVIATI: Így van, Sagredo úr … nyilvánvalóan tévedés, hogy az igen nagy és egészen kicsiny mesterséges gépezetek egyformán készülhetnek és ugyanolyan tartósak lesznek.
SAGREDO: Akkor hát, Salviati úr, kérem, segítsen át bennünket a buktatókon, és oszlassa el fejünkben a homályt …
SALVIATI: Szíves örömest rendelkezésükre állok; remélem, hogy az emlékezetem nem hagy cserben és fel tudom idézni mindazt, amit … akár egy új tudományágnak is nevezhetnénk.”
Később Galilei az élővilágból hoz fel egy
példát, bebizonyítva, hogy lehetetlen az állatok “egyszerű méretnövelése”,
anélkül, hogy “szerkezeti anyagaik” (pl. a csontok anyaga és alakja) ne
változnék.
“Felrajzoltam egy csont képét, amelyet az eredetinek csak háromszorosára hosszabbítottunk meg, és oly arányban vastagítottunk, hogy a nagyobb állatban ugyanazt a funkciót tudja ellátni, mint a kisebb csont a kisebb állatban: látják, ugye, milyen ormótlan alakú a nagyobbik csont. Nyilvánvaló tehát, hogy ha valaki azt akarná, hogy egy óriás arányaiban megegyezzen a közönséges emberekkel, akkor … sokkal szilárdabb és ellenállóbb anyagot kellene találnia a csontok számára …, ha pedig bizonyos határon túl akarná növelni, egyszerűen a saját súlyát sem bírná el.”
Talán ennyi is elegendő lenne annak
szemléltetésére, hogy a geometria és a működés (a funkció) hasonlósága egymásnak
ellentmondó lehet. De annyira elterjedt a “geometriai hasonlóság a működés
hasonlóságának feltétele” téves nézete, hogy talán nem felesleges még egy példa az
élőlények köréből.
“Egy hangya a saját testtömegénél kereken százszor
nehezebb bogarat hurcol, vonszol. Ez pontosan olyan teljesítmény, mintha mi egy
5-7 t tömegű elefánt tetemét vonszolnánk haza" vagy egy zongorát vinnénk a
hátunkon egy létrán. "Az orrszarvú bogár saját tömegének 850-szeresét is
elcipeli. Ha az elefánt ilyen erős lenne, akkor egy kisebb csatahajót vihetne a
vállán. A szöcske vagy az ugróvillás rovar saját termetéhez viszonyítva
labdarugó pályán az egyik kapuból a szemben lévő kapuba tudna ugrani …. A
kutatók a múlt században még azt hitték, hogy a rovarok azért olyan erősek, mert
'erősebb izmaik' vannak. Ma már tudjuk, hogy a helyzet más; 1 cm2
keresztmetszetű izomköteg az ember testében 6-10, a kecskebékáéban 3-5, a
szöcskében pedig 4-6 kg erőt képes kifejteni … A kicsiny állatok elképesztő
teljesítményének titka tehát nem más, mint a kicsinységük, és abból fakadnak
eredményeik, hogy a hosszúság, a felület és a térfogat aránya számukra igen
kedvező.”
Egy másik példa: A bolha kb. 1 m magasra ugrik. Milyen magasra ugranék a bolha, ha ember nagyságú volna? Az élőlények mozgékonysága többek között az izomerő és a test tömegének viszonyától függ. Az izomerő az izom keresztmetszetével, tehát az lineáris méretek négyzetével, a tömeg pedig a térfogattal, vagyis a lineáris méretek köbével arányos. [Az állatok méreteinek növekedésével a csontjaikra ható súly nem a tömegnek megfelelő harmadik hatványon, hanem - a hajlítóerő következtében - a negyedik hatványon növekszik - írja Farkas, 75. old.] Az “eredeti” ugrás h magassága az erő és a tömeg hányadosával arányos:
Ha az állat minden méretét c-szeresére növeljük: =c, akkor geometriailag hasonló lényt hoztunk létre, amelynek ugrási magassága h’= h/c, vagyis c-szeresére csökken! Az ember nagyságú bolha az eredeti állatnál kb. ezerszeresen nagyobb. Az ilyen állat ugrási magasságának nagyságrendje az eredeti m helyett csupán mm lenne.
Hibás következtetésekre jutnánk tehát, ha a modellezésnél mindenkor a geometriai hasonlóságot tekintenénk meghatározó szempontnak. Csak matematikai módszerekkel lehet a folyamatok, rendszerek hasonlóságának szükséges és elégséges feltételét meghatározni.